本期我们将为大家介绍HUD中重要的光学元器件——自由曲面。自由曲面是光学表面的一种，在正式对它进行介绍之前，我们先了解一下传统的两类透镜：球面透镜（图 (1)(B)）和非球面透镜（图(1)(C)）。

图 (1). 不同形状的透镜，从左到右依次为平面、球面、非球面、自由曲面

球面是一种基础的光学表面类型，被广泛应用于指纹仪、水准仪、望远镜等设备中。此类透镜呈球状的弧度， 它在垂直方向的切面也是弧状，球面镜表面上各点处曲率相等。当平行于光轴的光线入射到球面透镜上不同的位置时，其靠透镜边缘的光线通过后的焦点位置比较靠前，而中央光线通过后的焦点位置比较靠后，如图(2)所示。这种由透镜表面形状造成的在焦面上无法汇聚成一点的现象被称为球差，而球差会造成成像清晰度的下降。此类实际成像与理想成像的差别，在光学系统中叫做像差，上述球差是像差的一种。

图 (2). 球面镜与其成像示意图

相比球面，广义的非球面指不能用球面定义描述的面型，即该面型的各处曲率不一致。我们通常所说的非球面型，指的是其中心到边缘的曲率连续发生变化，且一般情况下为旋转对称的面型。常见的抛物面、双曲面和椭球面都属于非球面的范畴。

相对传统的球面光学系统，由于非球面镜在面型上的自由度， 我们可以通过镜片的设计来更好地矫正像差，如图(3)所示。例如，运用在相机镜头里的非球面镜在特殊设计后，当光线入射到非球面镜面时，光线能够在焦平面上聚焦于一点，更加贴近理想成像。

图 (3). 非球面镜与其成像示意图

当非球面在光学系统进行优化时，如果优化系数过多，优化变量的变化并不能从根本上改善光学系统的性能。因此，为了达到更好的成像效果，从非球面到自由曲面的发展是必然的。

自由曲面的定义

自由曲面一般是指不具有轴旋转对称或平移对称约束的光学曲面，其数学表征非常复杂且对设计能力要求很高。由于自由曲面可由非对称、不规则、复杂的面型组合而成，广义来说它可以是任何形状的表面[1]。与传统的球面、非球面光学元件相比，自由曲面有更大的“设计”自由度，能够根据需要，更精细地控制光线的出射角度和方向等。

自由曲面的应用 

光学自由曲面不仅可以实现光学系统中仅靠传统的球面或非球面难以实现的功能，且所需元件数量少，从而使整个光学系统更小、更轻和更高效，满足了现代光学系统高性能、轻量化和小型化发展的需求^[2]。所以，自由曲面光学元件在各领域都有广泛的应用，主要分为三个方面：成像、照明和显示领域。

在成像领域，自由曲面广泛被应用在天文观测和空间光学系统中^[3]，而现在有一些手机镜头，也加入了自由曲面以达到自动畸变矫正的效果（如图(4)）。在照明领域，自由曲面在路灯、车灯的结构设计中起着重要作用，它增加了有效照明范围，提高了能量利用率^[4]。在显示领域，自由曲面在头戴式显示器、微型投影仪^[5]等系统中扮演着不可忽视的角色。

图 (4). 常规镜头在使用了自由曲面之后，成像得到矫正

自由曲面的设计可以运用于透射式的透镜中，也可运用于反射式的镜片中，如常用在HUD中的自由曲面就是反射式的（如图(5)）。对于HUD来说，光学设计的需求较为复杂，一是需要对光机图像进行放大，满足视场角(FOV)的要求下同时投射到相应的成像距离(VID)；二是要兼顾成像图像的清晰度，能够达到较高的解析水平；三是需要匹配汽车挡风玻璃面型，将图像的静态畸变、动态畸变，以及双眼视差等参数控制在较低的水平。甚至，基于以上三点，通过对自由曲面的设计，还可以实现HUD重影的消除。

可以看到，对于如此复杂的设计需求，现有的球面或者传统对称非球面已经难以满足，需求引入设计自由度更高的自由曲面面型，但对光学设计能力也提出了更高的要求。图(6)展示了HUD中的自由曲面实物图。

图 (5). HUD中反射式的自由曲面

图 (6). HUD中应用的自由曲面

自由曲面的设计 

在HUD光路设计中，自由曲面面型的表征形式有很多，总的目标都是让HUD光学系统的成像质量能达到设计目标，较为常见的扩展多项式(Extended Polynomial)表征的自由曲面（图(7)）和Zernike多项式表征的自由曲面（图(8)）。

图 (7). 扩展多项式表征的自由曲面

图 (8). 前21个Zernike多项式，垂直按径向度排序，水平按方位角排序

表征方法本身并无优劣之分，但在使用场景上有一些区别。例如，扩展多项式是光学软件中最常用的自由曲面表达式，自由度较高，可用于数控加工中的面形表征，但其与像差不具备直接对应关系。而Zernike多项式表征的自由曲面与像差有较直接的对应关系，在优化设计中可以选择性单独优化各像差系数，从而更好地满足设计。

自由曲面光学镜片由于其带有极高的设计自由度， 在生产制造上就有着更大的挑战，更加依赖高精密度制造技术。在下一期文章里，我们将为大家介绍自由曲面制造及其工艺的评价指标和检测方式。

#参考来源：

[1]Wills S. (2017). "Freeform optics: notes from the revolution".  Optics& Photonics News. 28(7): 34-41.

[2]https://opticsjournal.net/Articles/OJ13d563a251e373b0/FullText

[3]Meng Q Y, Wang H Y, Liang W J. (2019). "Design of off-axis three-mirror systems with ultrawide field of view based on an expansion process of surface freeform and field of view". Applied Optics. 58(3): 609-615.

[4]Wei S L, Zhu Z B, Fan Z C. (2019). "Multi-surface catadioptric   freeform lens design for ultra-efficient off-axis road illumination". Optics Express. 27(12): A779-A789.

[5]Bian Y X, Li H F, Wang Y F. (2015). "Method to design two aspheric surfaces for a wide field of view imaging system with low distortion". Applied Optics. 54(27): 8241-8247.